RLC Parameter Extraction Using the Transfer Matrix

Brian Walker, Copper Mountain Technologies

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只有至少在一阶条件下其行为能够被理解，才可能直观理解射频网络。RLC（电阻、电感、电容）参数的提取就可以有效帮助理解。例如，如果已知低通滤波器的节点间存在一个0.1pF的有效电容，或许能促成一个出色的设计：节点间屏蔽带来更高的阻带隔离。图1所示为一个三元件的500MHz巴特沃斯滤波器的响应情况，对比展现了0.1pF杂散电容与理想电感的效果。在4GHz以上，隔离程度明显被杂散电容影响。

虽然这个简单示例中假设的是理想组件，但我们可以由此推得，低通滤波器节点间的杂散电容是有害的——这也是为什么高隔离度、集总元件低通滤波器的各部分之间具有屏蔽层的原因，且每个屏蔽层上都有一个整合了对地电容的馈电电容。

ABCD参数

实际情况中，组件绝不会是理想的，所以通过数学方法进行参数提取来了解其局限性很有必要。ABCD参数，也叫级联、链式或T参数，对于解决这一问题非常有用。二端口网络的ABCD参数可定义为¹：

其中v₁和v₂分别为输入和输出电压，i₁从左侧流入网络，i₂从右侧流出网络（图2）。有时为了保持对称性，i₂会画成从右侧流入，这种情况下正负号要取反。

应用于π形和T形网络时（图3），对电压和电流进行代数运算，可得π形网络的ABCD参数为：

这里的Z项可观测而得，Y₁和Y₂则很容易从A和D导出。Z需要非归一化，即乘以50。而要对Y项进行非归一化则乘以0.02。

T形网络的ABCD参数为：

同样的，Y项显而易见，而Z项也容易导出。

从50Ω的S参数到等效ABCD矩阵的转换如下：

电感器示例

为了实际应用这一概念，我们考虑一个12.5nH的空心电感，如Coilcraft出品的A04T MiniSpring。作为射频应用，Spring系列为高Q值电感器，虽然对有些设计而言，器件封装尺寸可能过大。通过参数提取，我们希望得到电感的等效电路，包括其寄生效应。查阅Coilcraft官网，可知在200MHz的电感S参数为：

将S参数转换为ABCD（T）参数，得：

尽管我们预计矩阵对称，但如果保留小数精度越高，就会发现S₁₁和S₂₂其实不完全相等，而S₂₁也不完全等于S₁₂。Z的实际值为：

将虚部除以2π*200MHz可得12.4nH，接近于预期12.5nH的电感值。

Y1和Y2由下式给出：

实部实际为零，未归一化的导纳为0.02*0.0116=2.33x10^-4 mhos，相当于一个200MHz下的0.185pF对地电容（图4）。

为了得到S参数，需在具有推荐焊盘图案的PCB板上来测量电感，其中每个焊盘均贡献0.185pF。这一结果十分重要，因为PCB板的介电特性和厚度的变化都会导致并联电容值的不同。

通过观察B项中Z的幅度及频率的关系，可以看到在3350MHz处产生了自谐振（图5）。要在该频率下以12.4nH电感谐振，绕组间电容必须为0.182pF左右。电感LC模型经更新后可得到如图6所示的等效电路。

经过简单计算，便可直接得到该电感器的π形网络模型。若将此概念应用于未知分量，通过观察ABCD参数，可以看到T形网络第一串联元件的电抗或是π形网络第一并联元件的导纳是否直接与f或1/f成正比。找到这一关系可以帮助决定π形或T形网络的选用。例如，查看由放大器IC的ABCD参数转换得到的等效T模型，能够确定键合线电感，后者可通过巧妙选取耦合电容器来抵消。

作为参考，并联导纳Y的ABCD参数由下式给出：

串联阻抗的ABCD参数由下式给出：

再通过简单的矩阵乘法即可轻松得出π及T矩阵。

未知网络

为了分解未知网络，需要检查T模型的Z₁和π模型的Y₁与f或1/f是否成正比。然后可记录下电阻、电容或电感的等效值，并将之通过对并联或串联项预先乘以逆ABCD矩阵而从网络中（数学意义上）移除。

其中，

删掉第一个串联项后，应根据其等效π模型对余下ABCD矩阵进行评估，分析首个并联项，拟合为R、L及C值再通过预乘进行消除。如果未知网络的首项为并联项，则先从π模型的Y₁值入手，再到T模型的Z₁值。当然，微小误差也会迅速累积，所以本方法想要很好地运用于较长的网络是不现实的。

使用矢量网络分析仪（VNA）可以直接测量电路和组件，而采用传输线探头去嵌技术使测量过程变得容易。Copper Mountain Technologies的VNA软件中内置了去嵌功能。

参考文献

图1 500MHz巴特沃斯低通滤波器的|S₂₁|响应，显示了与理想电感器相比之下0.1pF杂散电容的影响。

图2 二端口网络ABCD参数的信号流图。

图3 π形（a）和T形（b）网络。

图4 12.5nH空心电感的π电路模型。

图5 |Z|响应与频率的关系显示，电感器于3350MHz处发生自谐振。

图6 对电感器的π模型加入绕组间电容。