网络综合与功率放大器：令阻抗匹配望尘莫及

Network Synthesis and Power Amplifiers: So Much More than Impedance Matchings

Gayle Collins, Nuvotronics, Durham, N.C.

新兴材料和技术的诞生为研发人员开启了无限可能，让他们得以实现过去无法企及的方案，也为功放（PA）设计的革新开辟了蹊径。一直以来，功放设计的目标都是要将晶体管的性能发挥到极致；如今更是如此。无线基础设施方面设立了多项标准，促生了对于全频段宽带功放的需求。对功率的要求则反应在越来越高的频率上，从而推动了n维功率合成器以及多输入多输出系统（MIMO）的发展。通信系统日益复杂化，迫使人们摒弃传统的阻抗匹配电路法，而转向诸如网络综合等其它方向。

要应用网络综合技术，就需要了解动态交互系统的组件，并设计出一个能达到所需性能的网络。这项技术起源于电气工程行当，后来在控制、机器人和机械系统中得到了广泛应用，并逐渐又重新引起了电气工程界的兴趣。然而，功放设计领域一直都不怎么重视它，因为我们通常认为输出匹配网络是一个无源电路，而不是动态非线性系统的一部分。对于给定的期望频率或时域响应，结合所需的功率、效率和线性等度量，采取网络综合的方法可设计出一个交互式系统。系统中会包含一个无源或是有源的网络，与有源器件相互作用。这种装置一般是非线性的，如此例中的功放。我们先来看一看几种主流功放架构中晶体管的性能表现，来探讨一下功放设计引用网络综合技术的目的何在。

目的：不同应用中的功放设计

不论采用何种方法来设计功放，都必须考虑到设备在将来工作环境中的运行情况。功放的设计方法多种多样，包括负载调试、包络跟踪、谐波抑制以及可变负荷等。虽然这些方案实现性能的途径均不同，但核心理念都是围绕着有源器件本身和其策动点阻抗间的联系。HFET或HEMT属于典型的现代GaN射频功率晶体管，为有源器件的一大代表（图1）。

图1  一种GaN HFET/HEMT晶体管的示意图与小信号模型¹

晶体管内部又是怎样的情形呢？策动点阻抗决定了器件端口处的电压和电流的相互作用情况，从而确定了功率及效率。理想情况下，在策动点阻抗为一定值时，输出功率和效率会同时达到最大。那为何实际应用中会有出入呢？“罪魁祸首”便是谐波。虽然通过谐波能够得到时域波形，且使不同类型的功放达到理想效率，但同时它也会降低放大器产生的功率。时域波形由器件在某一频率下给出的阻抗所决定。器件的拐点电压和漏极最大电压V_dmax（图2）造成的截断是产生谐波的原因。

图2  样机的DC IV特性

栅极和漏极电压控制了电荷在晶体管沟道中的迁移。通过策动点阻抗来调节这些电压，就基本确定了放大器的表现。需要注意的是，我们前面所说的电荷，既有沟道中的自由电荷，也包括了贮存电荷。自由电荷是阻性的，而贮存电荷则是无功的，因此可通过负载的实部来控制自由电荷，用虚部来控制无功电荷。

Doherty放大器设计

Doherty原理²是一种效率增强技术，通过采取主动负载牵引技术来调制晶体管策动点阻抗。Doherty功率放大器结合了两个或以上晶体管通过四分之一波长传输线偏置的输出（图3）。在低功耗时，只有载波放大器导通，因而能达到比全功率状态下的单晶体管放大器更高的效率。随着输入功率的增加，载波放大器达到饱和状态，此时峰值放大器导通，调节载波放大器的策动点阻抗，从而改变其性能。Doherty功放在理想条件下，载波放大器的负载会由最大效率点拉至其最大功率点。

图3  双路Doherty功放

Doherty负载的调节使得通过晶体管的电流产生变化，因此沟道中的电荷也发生变化。载波放大器在达到饱和前都可被看作是一个电流源，饱和后的工作形态则呈现出电压源的特性。当峰值放大器开始工作后，在饱和前的状态也与电流源类似。从而随着峰值放大器逐渐达到最大功率，Doherty功放可表示为一个电压源（载波装置）及电流源（峰值装置）的并联。

电源调制放大器

在诸如包络跟踪（ET）等动态电源调制方案中，通过调节电源电压V_d将摆幅保持为V_d-V_knee的最大值，从而实现不同的输入功率电平下都能保持高效率。经由漏极调制，栅极电压通常保持恒定，因此C_gs大致稳定，器件沟道上的电压随C_ds和C_gd两端的电压变化而变化。所以会发生以下两种情况：一是这些电容器上的电荷将发生变化；二是一般而言电容量本身是和电压有关的，会在电源调制下发生变化³。从中可以得出两个影响：首先简单的电容模型并不够，因为我们是通过漏极调制来控制电荷，所以需要一个完全保守场模型^4,5；其次，GaN器件的C_ds对于漏极电压变化非常小，使得GaN工艺很适用于漏极调制的功放，这种情况下C_ds就近似于一个平行板电容器，可以很容易地进行替代，算是开了个好头。这和LDMOS器件形成了鲜明对比，后者的C_ds会随漏极电压发生巨大变化。功放设计里一般通过使用场板来将C_gd对于漏极电压的变化控制在最小。对于研发人员而言，漏极电源调制下的功率晶体管可以被看作是一个输出导纳随偏置变化的电流源。通过选取输出匹配的阻抗来使得器件的输出导纳产生变化，达到最佳性能。

针对不同负载的功放设计

在诸如无线电力传输、雷达和加热等应用中，功放的负载并不是恒定的。负载的实部和虚部都可以在很大的范围内发生变化。负载变化通常通过切换元器件来解决，但这一过程可能导致系统发生瞬变。功率晶体管在不同时刻接入阻抗不同，大大增加了功放设计难度。这些架构方面的例子都证明了任何功放设计的核心要素都是有源器件与所在网络的交互点上的策动点阻抗。

网络综合

通过回顾网络理论的一些基础知识，我们可以看到应当如何调整并运用这些方法来设计阻抗环境，从而使功率晶体管的性能发挥到极致。

网络综合这门技术，只需要以传输函数或策动点阻抗形式给出所需频率响应，便可实现网络模型。Cauer和Foster定理解决了电网综合问题。最早问世也是最为广泛应用的网络综合方法适用于双元网络：LC、RC或RL。Foster的电抗定理⁶为所有能表达为单口网络策动点阻抗的函数提供了必要和充分条件，奠定了网络综合诞生的基础。由并联-串联LC支路或是串联-并联LC支路构成的广义网络的策动点阻抗可以通过Foster定理得到。首先采用部分分式展开法将需要处理的有理函数分解为电感及电容部分。接下来便可以根据连续分式展开所得到的固定策动点驱动搭建起单口网络⁷。网络综合理论的提出，涵盖了正实函数⁸、策动点阻抗转化为RLC网络⁹以及插入损耗法¹⁰等方面。

网络综合的实现

很快，双口网络综合技术便紧随其后突飞猛进。Bode开发了一种基于镜像参量法¹¹的技术，其中网络的各个部分分别被定义为带通或带阻，并依据这些设定来完成滤波器部分。这项技术虽然无法实现任意的频率响应，不过对于简单架构的设计而言十分有用。

起初，通过假设完全对称的网络，Foster定理从LC单口被扩展到了LC双口。Cauer验证了Foster定理适用于LC n口网络，并证明了只要通过线性变换，便能够互推出所有的等价LC网络。Belevitch¹²开发了三种用于综合LTI互逆n口网络的方法。其中第一种方法采用连续消阻法，可惜太麻烦并不具备实际应用价值，不过它证实了任意正实阻抗或是导纳矩阵^13,14都是可以实现的，表明运用RLC组件以及理想变压器便能够形成完整的n口系统。最初的方案基于Darlington的单口网络设计进行了扩展，即实现了用终端电阻将n口网络改为2n口无功网络。通过这便得到了一个公式，对于互逆和非互逆n口网络均引入散射参数及散射矩阵，从而使等价问题得以解决¹⁴。

为何要引入功放网络综合？

功率放大器的设计包含了输入和输出匹配网络，通过对阻抗进行匹配来满足效率、功率、增益等的性能需求。通过网络综合实现的确定性设计方法，还可以提高其它方面的表现，如带宽和线性度等。单级功放的晶体管输入和输出端口上均具有双口网络，如果能在设计时加以注意便可以减轻失真。图4为强双音信号作用下晶体管的失真情况。如果将阻抗匹配电路设计为带通滤波器，失真问题便可以被最小化。图4通过一个理想矩形过滤器的输出说明了这个概念。

图4  (a)强双音信号作用下晶体管失真情况，(b)通过设计阻抗匹配电路使得失真问题最小化

Bode-Fano准则

功率放大器很重要的一项性能指标便是带宽。用史密斯圆图虽然可以对单一频率进行很好的匹配，但一般来说都需要进行宽带设计。Bode-Fano准则¹⁵（图5）指出了匹配网络的效用和带宽的关系。由该准则可以得知，只有带宽为单个频率时，才能达到完美匹配。

图5  Bode-Fano准则应用于：(a)串联LR网络，(b)并联RC网络

Cauer网络

让我们一起来看一些基本的LC滤波器模块。首当其冲的便是Cauer，范例均使用集总滤波器，当然也可以转化扩充为微带或波导滤波器。Cauer网络是梯形网络，可以用连分式来表示。熟悉史密斯圆图的功放设计师或许会觉得奇怪，自己竟然也已经使用过这一技巧，尽管只是针对单个频率的情况：串联及并联元件分别聚集在阻抗圆、导纳圆上。史密斯圆图与网络综合法的区别就在于后者会考虑到频率。

图6展示了Cauer滤波器的结构。输入阻抗Z_in可由连分式得：

图6  Cauer滤波器架构

以图7电路为例，输入阻抗Z(s)_in的频域函数如下，其中s = jω：

图7  Cauer LC滤波器示例

从最高次幂开始用分子除以分母，可得：

其中对第二项作了翻转。接着对第二项的分母进行化简，得到最终形式：

所有的有理函数都可以通过不断翻转相除最终表示成一个连分式。图8为两类Cauer网络，每一类分别有两种实现形式。只要有理函数为正实函数，便满足了无源网络策动点导抗的可实现条件，那么这四种网络就可以任意使用。这就意味着，对于所有的实数s，Z(s)或Y(s)均为实函数，且当s的实部大于等于零时，函数实部也都大于等于零。图7所示的Cauer I型滤波器是功放设计中常见的低通梯形网络。

图8  (a) Cauer I型网络，(b) Cauer II型网络；每一类型两张拓扑图

Foster网络

Foster网络是通过采用部分分式展开法来分解无源网络策动点导抗的目标函数而完成的。Foster I型网络（图9a）对Z(s)进行部分分式展开，通过串并混联谐振来为晶体管达成开路。而Foster II型网络（图9b）则是对Y(s)进行部分分式展开，采用并串混联谐振元件来做到短路。

图9  (a) Foster I型网络，(b) Foster II型网络

Foster I型网络的表达式为：

可以看到，通过观察即可发现短路和开路位置。首先是在处短路，再有并联部分于处开路。

Foster II型网络的表达式为：

同样的，我们可以观察到网络的短路、开路状态：在处开路，串联部分于处短路。

我们可以混合不同的模式来满足任意给定的策动点导抗。

多端口网络综合

对于给定的策动点导抗函数，Cauer连续分式展开法能够对双元单口网络进行综合。通过一个特定的策动点导抗矩阵，我们得以将连续分式展开法应用于双元多端口网络的传递函数矩阵。表示LC、RC或RL n口网络的n ´ n维策动点阻抗矩阵为正实对称矩阵。RC策动点阻抗矩阵的部分分式展开形式为：

若T_RC (s)可定义为：

由式（9）可得到阻抗矩阵T_RC (s)，并展开成Cauer矩阵形式¹⁶。据此可确定网络的组成。

MIMO Doherty功放设计

我们用一个N路Doherty功率放大器（DPA）¹⁷来说明功放设计中的网络综合方法。DPA的每个放大器一般需要匹配到50Ω，并采取相位偏移以及四分之一波长传输线来获取所需的负载调制。通过MIMO方法合成负载调制可得到一般形式的输出网络（图10）。

图10  MIMO Doherty功放

一个标准的放大器n维系统中，载波放大器编号1至m，峰值放大器编号m+1至n，负载为第n+1个节点L，输出网络由n+1 ´ n+1矩阵随频率变化的阻抗或传递函数表示。在阻抗矩阵中，对角项表示唯有某一放大器导通而其余皆不工作时它的阻抗。除此之外的元素表示其它放大器接通时的负载调制。然后再根据复杂的策动点阻抗以及负载调制（也称为Doherty作用），便可完成网络综合。式10中的第一个矩阵描述了每个放大器的策动点阻抗，第二矩阵是表示放大器之间相互作用的负载调制矩阵。阻抗是种复杂的传递函数，与频率相关。

这里的C表示载波放大器，P表示峰值，L表示负载节点，ii表示策动点阻抗，ij表示交叉阻抗。这便是DPA合成的一般方式。

载波放大器所选取的策动点阻抗能够提供最大的回退功率。调制阻抗则能够调节放大器的负载，使得驱动时达到期望效率及功率。该调制矩阵是对称的，从而将需要求解的方程数量削减了一半。这种结构功能强大，还可根据有源负载和相位调制情况进行修改。例如，我们可以通过该矩阵法来优化负载调制对整个功放所产生的效果，使得功放对于规定的回退功率效率达到最佳。阻抗矩阵对角项的频率响应决定了DPA的带宽。利用传递函数矩阵中的阻抗，可以调整振幅和相位来达到理想频率响应，从而实现宽带DPA的设计。

结论

无论是标准A类放大器、电压源调制架构亦或是人为甚至自发的负载调制系统，功放系统都是由相互作用的动态组件构成的。功放的设计中需要有网络来达到理想性能，核心便是策动点阻抗。随着功放系统越来越复杂，人们对网络综合越来越感兴趣。本文对网络综合技术进行了概述，列举了该领域从发展初期至今日应用中的亮点。有兴趣的读者还可以查阅文末列举的参考文献，如Carlin和Youla对于n端口综合¹⁸以及Fano对于宽带匹配网络的研究¹⁴等，必能收获更多。Carlin那篇有关非常规电路理论的短文¹⁹里同样包含了大量值得一看的文献。

参考文献

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